2011年12月03日
ケーキの面積（科学）
今年もクリスマスが近づいて色々なケーキや、ケーキのふりをしたムースのかたまりが売り出されているが予約用の広告を並べている中で我がクイーン・アンがふと気がついたことがある。直径１３センチと直径１５センチの二つのケーキ、これを合わせた値段が直径２４センチのケーキの値段と同じだったのだ。ふつうに考えれば同じ値段だったら二つ買うよりも一つ買うほうが大きくてトクに決まっている。なのだがとっさに答えが出てこなかったのはどうも数字と離れているのかもしれず、どうやら芥子をとってくれと言っている場合ではないようだ。
例のごとく、こういう計算は誤差を承知でなるべく単純化した方が分かりやすい。一般的にケーキの号数はサイズ×３が基本だから先のケーキであれば４号と５号、それに８号の大きさを比べればいいだろう。高さはすべて同じであれば無視できるとして、上面積だけを対比する式をつくってみる。４号の直径はＡセンチ、５号はＢセンチ、８号はＣセンチで計算すると
（Ａ÷２）×（Ａ÷２）×π ＋ （Ｂ÷２）×（Ｂ÷２）×π ： （Ｃ÷２）×（Ｃ÷２）×π
長ったらしく書いているのは実際には頭の中だけで計算しているためである。
これを前項後項とも共通因数（π÷（２×２））でくくってみよう。
因数分解の基本中の基本だから公式なんて必要ない。
（π÷（２×２））×（Ａ×Ａ＋Ｂ×Ｂ） ： （π÷（２×２））×（Ｃ×Ｃ）
で、前項と後項を共通因数の（π÷（２×２））で割って消してしまう。
Ａ×Ａ ＋ Ｂ×Ｂ ： Ｃ×Ｃ
つまりケーキＡの直径×直径＋ケーキＢの直径×直径と、ケーキＣの直径×直径を比べればいい訳だ。だがこれをそのまま解くにはまだ電卓やそろばんが必要だろう。１３の自乗が１６９で１５の自乗が２２５なのは暗記しているが２４の自乗は覚えていない。もちろん３の自乗と８の自乗をかけた数だから６４の９倍、としてもいいのだがなるべくむつかしい計算はしたくないのだ。そこでケーキの直径は号数×３だからケーキＡの直径を１２センチと仮定してしまう。この場合ケーキＡＢＣの直径の関係はそのまま４対５対８になるから
４×４ ＋ ５×５ ： ８×８
つまりケーキの直径が号数×３であるとすれば計算ではなく九九で考えることができるので、この組み合わせなら４号＋５号に比べて９号はおよそ１．５倍近くも大きいことになる。実際には１．５倍足らずとはいえ概算ならこれで困らないだろう。唯一の救いはケーキが二つあれば上に乗っているサンタさんも二つになるということだろうか。
因数分解ができると大きなケーキが食べられるというお話。
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