ダイヤとティッシュの答に近いヒント

　

昔、某大学の入試問題で、次のようなものがありました。

ジョーカーを除いたトランプ５２枚の中から１枚のカードを抜き出し、表を見ないで箱の中にしまった。そして、残りのカードをよく切ってから３枚抜き出したところ、３枚ともダイアであった。

このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか。

というものです。これが出題されたとき、一番最初に取り出したカードは５２枚から１枚取ったのだから、後から抜いた３枚など、何の関係もない。つまり、最初のトランプがダイヤである確率は13/52=1/4であるとした「入試問題正解集」がありました。高校の数学の授業でも同じような混乱があったそうです。

私たちは確率というと、「明日の降水確率」などでもわかるように、「未来に起きること」を思い浮かべがちです。

ある出来事があって、それより前に起きた出来事の確率を求めるというのは、日常生活ではあまり体験しません。そのため、このトランプの問題のように、後から何が出ようが、最初に引いたトランプがダイヤである確率には関係がないと思ってしまいます。

しかし、本当にそうでしょうか。今の問題はあとから抜いた３枚のトランプがすべてダイヤであったのですが、もしこれが３枚ではなく、１３枚抜いたとして、しかもそれがすべてダイヤのカードであったとしたらどうでしょう。それでも箱の中に入っているトランプが、ダイヤである確率は１／４だと主張するでしょうか。これなら、箱の中のトランプがダイヤである確率はゼロです。つまり、後からの情報で、前の確率が変わることはこれでおわかりいただけると思います。

この問題では、箱の中にしまわれたカードは、抜き出された３枚のダイヤ以外のどれかであることは間違いありません。つまり、５２枚から３枚のダイヤを除いた４９枚のカードのうちのどれかです。

そして、４９枚の中で、ダイヤのカードはまだ１０枚あります。よって、一枚目のトランプがダイヤのカードである確率は１０／４９です。これが正解です。

では、先の「ダイヤとティッシュ」の問題ではどうなるのでしょう。考えてみてください。ヒントを書いておきます。

「ダイヤとティッシュ」の問題で、ルールを次のように変更したらどうでしょう。まず箱を選びます。ここで司会者がティッシュの入っている箱を見せてくれるところまでは同じです。しかし、今回は変更はできません。ただ見せてくれるだけです。このようなゲームがあったとしたら、このゲームに参加する人がダイヤを獲得する確率はいくらか考えてみてください。それがわかったら、もう一度問題を考えてください。

＜おまけ＞：ここまでの解説を読んで、「なんだ、こんなの簡単じゃん」と思った人、もしくはさらに悩みたい人のために、おまけをつけておきます。